Re: Trazione di una sbarra: si disintegra?

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Tue, 30 Apr 2002 20:09:09 +0200

Werther ha scritto:
> Io intendevo il centro come puntiforme, o meglio, essendo una sezione,
> come piano geometrico; se, come crederei, le tensioni hanno versi
> opposti nelle due met� della sbarra, al centro la tensione non pu� avere
> verso e quindi non pu� che essere nulla (per questo mi viene da
> considerare il centro come differente dagli altri punti, e quasi come un
> "vincolo"). Ad esempio, se sottopongo un elastico a due forze uguali e
> opposte alle estremit�, otterr� che tutti i suoi punti si muovono verso
> l'esterno tranne il punto centrale, che rimane fermo nella sua posizione
> originaria.

Mino Saccone ha scritto:
> Occorre capire meglio che cos'e' uno sforzo in un corpo. Limitiamoci a uno
> sforzo di trazione assiale in un'asta, per semplicita' e per restare vicini
> al quesito.
> ...
> Chiameremo sforzo dell'asta l'insieme delle due forze
> applicate dal dinamometro ai due monconi. Esso sara' convenzionalmente
> positivo se "di trazione", negativo se "di compressione".
> ...
> Lo sforzo al centro, ben lungi dall'essere nullo, e' quindi uguale a quello
> di tutte le altre sezioni.
Direi che si puo' introdurre un altro aspetto del discorso (fra poco).
Ma intanto osservo che la presentazione di Mino Saccone, ineccepibile,
non e' purtroppo quella che piu' di frequente si trova nei libri, anche
universitari, dove di solito la tensione in un filo o in una sbarra e'
presentata come un vettore e basta.
Mi pare che questo giustifichi l'errore di Werther, che in forma piu'
dotta ;-) riformulerei cosi'.

Sia T la tensione (vettore) al centro della sbarra, causata dalle due
forze opposte applicate agli estremi. Ribaltiamo la sbarra di 180 gradi,
in modo da scambiare gli estremi. La situazione delle forze esterne
resta la stessa, quindi deve restare la stessa anche la tensione.
Ma con questa rotazione il vettore T va in -T, e l'unico vettore uguale
al suo opposto e' il vettore nullo.
Ergo, la tensione al centro e' nulla (!)

La risposta di Mino Saccone e': "no, lo sforzo non e' un vettore, ma la
coppia di due vettori opposti, e questa resta invariata per ribaltamento
anche se i vettori non sono nulli".
Io direi (equivalentemente): "no, lo sforzo (anche la tensione) non e'
un vettore, ma un tensore".
Suppongo che Mino Saccone abbia evitato questa parola "fatidica", ben
consapevole di quanto spesso arrivano domande del tipo "che cos'e' un
tensore?"
Per la stessa ragione, penso invece opportuno cogliere la palla al
balzo, per presentare una risposta ispirata proprio a questa situazione.

Torniamo alla sbarra. Per parlare di forza dobbiamo sapere chi la
produce e chi la subisce. In un punto della sbarra dobbiamo immaginare
una sezione, che divide la sbarra in due parti, A a sinistra, B a
destra. Poi dobbiamo decidere: vogliamo parlare della forza di A su B, o
di quella di B su A?
Non fa differenza, nel senso che (per il terzo principio) le due forze
sono necessariamente opposte, quindi nota una si conosce anche l'altra;
ma per la stessa ragione bisogna decidere quale si vuole usare, perche'
altrimenti si rischia di sbagliare il segno.
Detto in altre parole, la sezione deve essere *orientata*, ossia
dobbiamo associarle un vettore unitario u, che possiamo prendere nei due
versi, a nostra scelta: se u e' diretto verso destra, conveniamo di
pensare alla forza di A su B; se e' diretto verso sinistra, alla forza
di B su A.
Allora la forza dipende da u, e cambia segno insieme con u: F = T(u)
dove T e' una funzione che manda da u in F, ossia da vettori a vettori.
Questo e' un tensore, nel caso banale di un sistema unidimensionale.
(Fra poco un cenno al tensore in un caso piu' interessante; ora continuo
con la sbarra).
Se F e' concorde con u, parleremo di compressione (pressione), se e'
opposta, parleremo di trazione (tensione).

Torniamo all'argomento di simmetria: come funziona? Lo stato di tensione
della sbarra e' descritto dalla funzione T, punto per punto. Il
ribaltamento non deve cambiare T nel centro.
Questo non contraddice il fatto che se mando u in -u anche F va in -F,
senza bisogno di richiedere che F sia nulla.
Detto in termini piu' sofisticati: mentre un vettore cambia segno per
ribaltamento, un tensore (la funzione T) resta invariato.

E ora, uscendo dal caso della sbarra, come appare la situazione in un
corpo esteso qualsiasi?
In ogni punto possiamo pensare alla solita sezione, che questa volta
puo' essere orientata a piacere. Percio' dobbiamo pensare a un elemento
di area dS, orientato col vettore unitario ortogonale u.
A questo elemento di area corrispondera' una forza, applicata nel verso
indicato da u: dF=T(u)*dS.
In generale infatti la forza potra' dipendere, sia in grandezza come in
direzione, dall'orientamento della sezione (non sempre sara' ortogonale
alla sezione).
*Si dimostra* che T(u) e' una funzione lineare, ossia appunto un
tensore.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Tue Apr 30 2002 - 20:09:09 CEST