>>>>> VM == Valter Moretti [2001-6-7]
VM> Scusa, capisco quello che dici ma non capisco bene la conclusione:
VM> non si tratta di proprieta` indipendenti, e lo dici tu stesso!
Beh, in realt� volevo dire proprio quello che ho detto: che sono
indipendenti. :-)
Ora mi spiego meglio, spero.
VM> Non e` vero che "non e` necessario che sia cosi", almeno in una
VM> direzione. E` vero che puoi dare una nozione di geodetiche affini,
VM> se su una varita` definisci una connessione affine,*senza metrica* e
VM> pertanto tale nozione prescinde completamente da quella di geodetica
VM> metrica. Ma non e` vero il contrario: ogni volta che fissi una
VM> metrica, questa ti seleziona automaticamente una connessione affine
VM> privilegiata: quella di Levi-Civita
Una volta introdotta una metrica, _posso_ dedurne una unica connessione
affine simmetrica compatibile: quella di Levi-Civita; per� non _devo_
(necessariamente) farlo.
Posso anche continuare a considerare una connessione affine diversa,
nessuno me lo vieta. Vorr� dire che le linee diritte (geodetiche
affini) non sono estremali per la lunghezza (geodetiche metriche).
VM> e, come sai bene, le geodetiche metriche sono anche geodetiche
VM> affini rispetto a tale connessione affine
Esattamente: rispetto a _tale_ connessione affine, che pu� non essere
quella che munisce di struttura affine la variet� di mio interesse.
Faccio un esempio, forse un po' banale e forse anche un po' stupido (�
il primo che mi viene in mente): supponiamo di essere in un campo, qui
sulla terra, nel mezzo del quale sorga una collina, e di dover andare a
corsa da una parte all'altra nel pi� breve tempo possibile;
probabilmente non sceglieremo il percorso il cui angolo con l'ago della
bussola che abbiamo in tasca � costante, ma preferiremo aggirare la
collina: non � il percorso pi� breve dal punto di vista spaziale, ma lo
� certamente dal punto di vista temporale; n� d'altra parte il percorso
che tiene costante l'angolo d'inclinazione della bussola �
necessariamente il pi� breve (per esempio a causa delle anomalie del
campo geomagnetico). [Volendo qui abbiamo due metriche (�minimo spazio�
e �minimo tempo�, per intenderci) e dunque due connessioni affini
rispettivamente compatibili, ma in realt� la connessione affine che
c'interessa (la bussola) non deriva da nessuna delle due.]
VM> (ed in generale a tutte le connessioni affini che abbiano derivata
VM> covariante nulla rispetto alla metrica assegnata, anche se hanno
VM> torsione: la classe delle geodetiche e` la stessa).
S�, la classe d'equivalenza delle connessioni affini con le stesse
geodetiche si pu� parametrizzare col tensore di torsione. Per� non �
necessario che la derivata covariante della metrica sia nulla.
VM> Credo che tu volessi dire che si tratta di idee che a priori
VM> sembrano indipendenti, ma quando le metti in un comune contesto
VM> scopri che risultano essere dipendenti!
No, in realt� avevo in mente qualcosa che non ho espresso, a livello di
corrispondenza matematica<->fisica, a proposito della legge d'inerzia e
del principio di equivalenza. Non l'ho scritto, e non lo scrivo, perch�
non sono abbastanza bravo (o non ho le idee abbastanza chiare) e
preferisco evitare di fare un discorso fumoso. :-)
--
Davide Giovanni Maria Salvetti
W: http://www.linux.it/~salve/
OpenPGP (GPG) Key ID: 939686D5
Received on Thu Jun 07 2001 - 21:43:45 CEST