Bruno Cocciaro ha scritto:
> Ciao e ... continuo a non capire come tu possa farcela a mantenere
> sempre una tale cura verso una così grande mole di tuoi "allievi".
In effetti ora sono piuttosto ingolfato.
Ho sollevato delle questioni, e ora non so come cavarmela con le
numerose risposte che dovrei dare.
Per stasera mi limito a rispondere a te:
> Immagino che la risposta alla tua domanda sia proprio quella che
> stavo mandando mentre tu la ponevi :-). O c'è ancora dell'altro?
Non sono sicuro, e preferisco mostrarti cosa avrei detto io a lezione.
Cominciamo con l'osservare che l'emettitore A e il ricevitore B sono
entrambi in moto circolare uniforme, con la stessa vel. angolare, nel
rif. del laboratorio.
La piattaforma di cui ho parlato nell'enunciato serve soltanto a
questo: a garantire che i due oggetti si muovano con questa comune vel.
angolare (e quindi conservino distanza costante (sempre nel rif. del
laboratorio: no lo ripeterò più).
Del rif. rotante della piattaforma non me ne curo.
Avrei parecchio da dire, per es. che reputo errato parecchio di ciò ce
scrive Landau sull'argomento. Ma per fortuna è irrilevante.
In un diagramma spazio-tempo tipo quello che si vede sulla copertina
del Q16, le linee orarie di A e di B sono due eliche circolari, di
raggi diversi ma di uguale passo temporale.
Questo l'avevi scritto, anche se ci hai infilato una cosa scorretta:
> Detti R_A e R_B le distanze di A e B dal centro O (misurate da
> regoli fermi nel riferimento in cui è fermo O)
O è un punto e non basta per definire un rif.
Guarda caso O è fermo anche nel rif. rotante :-)
Ma torniamo alle eliche.
Esiste un po' di simmetria nel problema, che è molto utile rilevare.
In particolare se componiamo una traslazione di Dt nel tempo con una
rotazione di w*Dt attorno all'asse del sistema, entrambe le eliche si
sovrappongono a se stesse. La posizione dei punti A, B cambia e
cambiano pure gli eventi emissione e ricezione, ma tutte le relazioni
geometriche e fisiche restano invarianti.
Seguendo quello che suggerisci anche tu, definiamo una serie di
eventi, che chiamerò E0, E1, ...En.
Sono le emissioni degli impulsi o se si preferisce quelli in cui la
fase dell'onda emessa torna la stessa (ossia la separazione di due
eventi consecutivi in termini di *tempo proprio* è pari al periodo
della radiazione emessa, come misurata da A.
Preciso che En avviene quando A compie un giro completo.
Stesse definizioni per gli eventi R0 ...Rn che sono gli eventi di
ricezione.
Non ho bisogno di ripetere le cose già dette per E0 ...En.
Va da sé che gli eventi Ek, Rk sono connessi della propagazione della
radiazione da A a B.
Nel rif. del laboratorio questa propagazione è rettilinea alla
velocità c, ma non ho nepure bisogno di saperlo.
Quello che basta è che l'invarianza sopra mostrata mi assicura che la
relazione tra E0 ed R0 è la stessa che tra E1 ed R1, ecc.
O anche: che il 4-vettore che va da E0 a E1 ha la stessa lunghezza
(tempo proprio) di tutti quelli da Ek a E(k+1), e lo stesso vale per
gli Rk.
Però attenzione: la lunghezza di E0E1 sarà diversa da quella di R0R1;
del resto questo è proprio il contenuto della domanda.
Invece possiamo dire che per la coordinata t vale un'uguaglianza più
ampia: non solo sono uguali tutti i Dt_k = t(E(k+1))-t(Ek), ma e così
pure per gli R; inoltre
t(E(k+1))-t(Ek) = t(R(k+1))-t(Rk).
Perché?
Perché tutte le differenze t(Rk)-t(Ek) sono uguali, sempre per la
solita invarianza.
A questo punto è fatta: le differenze t(E(k+1))-t(Ek) e gli intervalli
di tempo proprio possiamo metterli in relazione con la solita formula
della dilatazione, perché (clock hypothesis) vale
Dtau = int[sqrt(1-v^2/c^2),t,t(Ek),t(E(k+1)]
Però tra emissione e ricezione c'è differenza nella v e quindi anche
nel Dtau.
Fine del problema.
Ho voluto esaminare con attenzione il ruolo dell'invarianza "lungo
l'elica" perché è quello che probab. avevate capito tutti, ma non
avevate pensato di enunciarlo in modo esplicito.
--
Elio Fabri
Received on Wed Apr 05 2023 - 18:49:46 CEST