Premetto che il mio intento � quello di chiarire i dubbi che mi sono sorti
nell'affrontare il problema. Per questo mi farebbe piacere se qualcuno
segnalasse errori e imprecisioni in quanto segue.
Per quanto riguarda le semplificazioni adottate, non posso prescindere da un
modello fortemente "idealizzato" dato che le mie conoscenze si limitano a
quelle del liceo o poco pi� e un ulteriore complicazione quale prendere in
esame un tronco di cono mi darebbe non poche noie. Del resto mi pare che
anche nel libro "100 errori di fisica" si prenda in esame un cilindro
omogeneo. Se non ricordo male (ho perso anche la fotocopia) l'autore
scompone il cilindro in due cilindri pi� bassi, poi calcolando
l'accelerazione angolare che caratterizzerebbe la parte inferiore della
colonna se non fosse solidale con la parte superiore deduce che la parte pi�
alta rallenta la caduta della parte pi� bassa e viceversa. Infine l'autore
determina il momento che le due parti della colonna esercitano
reciprocamente una sull'altra e da momento la forza ad esso associata. Ci�
che non capisco � proprio quest'ultimo passaggio. Per quale motivo il
momento deve essere associato necessariamente ad una forza? Non potrebbe
essere forse il momento di una COPPIA di forze sommato al momento di una
forza? Personalmente ritengo che cambiando punto di vista, cio� prendendo la
colonna stessa come sistema di riferimento, emerga proprio che il momento
suddetto sia la somma del momento flettente (il momento della coppia di
forze) e del momento della forza di taglio in ogni punto della colonna.
Prover� a dimostrarlo.
Si prenda la colonna come sistema di riferimento, il sistema non �
inerziale, un elemento della colonna ad altezza x � accelerato
tangenzialmente secondo la legge seguente:
a=3(g/h)x
(sia g la componente Tangenziale dell'acc. di gravit�, la componente radiale
sia trascurata per semplicit�)
per cui ogni elemento di massa dm=(M/h)dx , dove M/h � la densit� lineare,
subisce le azioni della forza di gravit� e della forza di inerzia -ma,
dunque la forza su ogni elemento di massa � data dalla relazione seguente:
F=dxMg[h-(3/2)x]/h^2 (1)
sommando ora tutte le forze comprese tra un qualsiasi punto e l'estremo non
vincolato della colonna, l'intervallo [x;h], si ottiene la funzione del
taglio che � la seguente:
T={[3/(4h^2)]x^3-(1/h)x^2+(1/4)}Mg (2)
infine integrando la (2) sempre nell'intervallo [x;h] si ottiene la funzione
del momento flettente:
Mf={[-1/(4h^2)]x^3+[1/(2h)]x^2-(1/4)x}Mg (3)
Da queste funzioni si deduce che il taglio � massimo (per valori positivi)
alla base per x=0,massimo (per valori negativi) per x=(2/3)h, � nullo per x
= (1/3)h dove � massimo il momento flettente.
Per calcolare dove effettivamente si spezzi una ciminiera credo per� che non
bastino queste sole funzioni, la componente radiale dell'accelerazione di
gravit� potrebbe alterare sensibilmente i valori critici di rottura lungo
l'altezza (ma con le mie attuali conoscenze � gi� anche troppo azzardarsi
fin qua).
Si pu� inoltre osservare che la funzione del momento delle forze di taglio
(T*x) sommata alla funzione del momento flettente genera la funzione del
momento che in ogni punto la parte superiore della colonna esercita sulla
seconda e viceversa, la funzione � la seguente:
Tx+Mf=(1/2)Mg(x^3-hx^2)/h^2
che mi pare sia la stessa del libro "cento errori di fisica" e da cui
discende la funzione del taglio.
Massimo Guarnieri
--
Chi non � morto di noia ed � arrivato a leggere fin qua per favore provi a
convincermi a lasciar perdere e a cestinare tutto.
Ciao, Grazie
Mauro Fiorentini ha scritto nel messaggio <3669D6A1.BA4F99A2_at_etnoteam.it>...
>
>Ciao Massimo
>
>Massimo Guarnieri wrote:
>
>> Vi propongo il vecchio problema tratto da "More on the Falling Chimney"
di
>> A.A. Barlett, la cui soluzione � stata confutata in "Cento errori di
>> fisica". Premetto di non possedere i testi sopracitati ma solo una
fotocopia
>> sull'argomento presa dal secondo per cui mi rivolgo a voi per verificare
le
>> mie personali conclusioni sul problema (che discordano da entrambe quelle
>> che ho letto).
>
>Scusa, ma perche' non le scrivi? Io ho letto "Cento errori di Fisica" e
trovo
>correttala sua risposta: la ciminiera, se ben ricordo, si rompe a meta'
altezza.
>Una delle due parti
>prosegue in caduta libera, l'altra continua a ruotare e puo', se molto
lunga,
>rompersi
>di nuovo in due parti.
>
>> Si consideri un cilindro (con h>>r), la nostra ciminiera da demolirsi,
che
>> poggia su un piano, se questo cilindro viene sbilanciato comincia a
ruotare
>> per la gravit� attorno al punto del piano su cui poggia e a cui si
suppone
>> sia vincolato. A causa delle accelerazioni a cui � sottoposto il corpo si
>> creano delle tensioni interne che possono rompere il cilindro.
Trascorando
>> le forze di compressione ci si chiede quali siano i punti del cilindro
pi� a
>> rischio di rottura.
>>
>> Grazie
>
>Ricordo d'aver visto un filmato rallentato, che mostra chiaramente una
ciminiera
>
>di mattoni cadere, toccando il suolo in 4 parti, all'incirca di 1/4, 1/4 e
1/2
>dell'altezza.
>Le ciminiere reali sono leggermente coniche, quindi le conclusioni del
testo
>vannolievemente modificate.
>
>Ciao
>Mauro Fiorentini
>
>
Received on Sun Dec 13 1998 - 00:00:00 CET