Re: Fattorizzazione di sistemi fermionici

From: Gianmarco Bramanti <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Sat, 14 Jun 2003 10:53:20 GMT

Il 10 Giu 2003, 21:10, "Eleonora Norese" <noresina83_at_libero.it> ha scritto:

Intervento ulteriore, a vantaggio di quelli che hanno seguito il thread.

> Non so.
> Per un sistema a n elettroni deve valere comunque che la (funzione d'onda
> complessiva) ^2
> rimanga invariante rispetto a __tutte__ le permutazioni degli n indici.
> Occorre caratterizzare la classe delle funzioni che godono di questa
> propriet�.
> Poi toglierei quelle banali e quelle incompatibili con il principio di
> Pauli ( � da escludere la forma fattorizzata ).
> A parte quella corrispondente ad uno stato entlangled completo ( che mi
> sembra evidente essere in questa classe ) rimane da vedere cosa rimane di
> fisicamente interessante.

Due obiezioni: di stati completamente antisimmetrici se ne ha in generale
pi� d'uno. Un esempio: considera uno stato con cinque valori di spin (a due
indici +2 per spin 3/2 +1 per spin 1/2, -1 per spin -1/2 -2 per spin -3/2)
hai diverse funzioni d'onda antisimmetriche per una coppia di particelle.
Per
costruirle basta fissare un valore non nullo f(i,j) quindi estendere per
simmetria.

> Qui serve un matematico!
> Per altro se ci� portasse a qualcosa di fisicamente interessante, mi
> crollerebbe quella mia sensazione che mi suggerisce che i concetti della
MQ
> siano completamente racchiusi in sistemi di non pi� di due oggetti.

Postulando che lo stato del sistema rimanga immutato per scambio
di due particelle si arriva a dimostrare il teorema. Come dice Valter,
per� non � necessario richiedere che il singolo stato rimanga immutato,
perch� � legittimo pensare una versione in cui lo scambio di particelle
lasci invariate le probabilit� di transizione fra due qualsiasi stati.

In generale, contrariamente a quanto pensavo, non � possibile dedurre che
la funzione d'onda debba essere simmetrica o antisimmetrica semplicemente
imponendo la conservazione del modulo quadro della funzione d'onda. Per
dedurre ci� occorre postulare che sono equivalenti le funzioni d'onda che
differiscono per una fase ed imporre che uno stato si identifica con una
classe di equivalenza.

> E' probabilmente prematura, caro Valter, una tua spiegazione ( se rivolta
a
> me soltanto ).
> Ti ringrazio sul serio della tua gentilezza.
> Eleonora

Controesempio elementare:

g(x,y)=h(x,y)+exp(if(x,y))h(y,x).
dove f(x,y)=-f(y,x)

per scambio si ha la funzione:

g(y,x)=h(y,x)+exp(if(y,x))h(x,y)=exp(if(y,x))(exp(if(x,y)h(y,x)+h(x,y))=
exp(if(y,x))g(x,y).

Quindi ogni punto pu� cambiare fase in accordo con la fase introdotta,
ed ovviamente il modulo quadro rimane invariato. Tenendo conto della
definizione di probabilit� di transizione da uno stato di funzione d'onda
g ad uno stato di funzione d'onda g^ in termini di modulo quadro
dell'integrale di g* g^ si trova che se anche la funzione g � normalizzata
ad uno ed ha probabilit� di localizzazione costante, tuttavia non � lo
stesso
stato. E la probabilit� di riduzione di g(x,y) a g(y,x) � data dal modulo
quadro dell'integrale di exp(if(y,x))|g(x,y)|^2.





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Received on Sat Jun 14 2003 - 12:53:20 CEST

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