Momento angolare in n dimensioni e rappresentazioni di SO(n)

From: Giuseppe Milanesi <uske_at_tin.it>
Date: Fri, 04 Apr 2003 10:05:25 GMT

Salve,
qualche giorno fa ho postato un messaggio ma nessuno mi ha risposto.
Ora ho un po' piu' di tempo e ripresento la stessa questione in veste
un po' migliore, spero che qualcuno possa aiutarmi in qualche modo.
Grazie comunque a chi avra' voglia di leggere.

E' possibile costruire una rappresentazione di SO(n) sulle funzioni
L^2 della sfera unitaria n-1 dimensionale con la misura indotta dalla
misura euclidea in R^n. \
Chiaramente questa rappresentazione e' infinito dimensionale,
riducibile.
Scriviamo la metrica euclidea come:

ds^2=dr^2+r^2\Omega_{ij}\theta^i\theta^j

dove le \theta^i sono coordinate sulla sfera.

Definiamo il ``momento angolare totale al quadrato'' come:

f^2\phi=\frac{1}{\sqrt{\Omega}}\der_i(\sqrt{\Omega}\Omega^{ij}\der_j\phi

dove \Omega=det(\Omega_{ij}), \Omega^{ij}\Omega_{jk}=\delta^i_k,
\der_i indica la derivata parziale rispetto a \theta^i e \phi e' una
funzione di L^2 della sfera, con la misura data da \sqrt{\Omega}. In
ogni sottospazio irriducibile l'operatore f sara' un multiplo
dell'identita' e varra': l(l+n-2).

La mia domanda e': quale e' la moltemplicita' di questo autovalore in
L^2 della sfera?


Per chiarire le idee, nel caso di SO(3), una base ortonormale per lo
spazio in questione sono le armoniche sferiche Y^l_m. Per l fissato,
esse costiuiscono sottospazi irriducibili e inequivalenti sotto SO(3);
f^2 vale l(l+1) e quindi a rappresentazioni diverse corrispondono
diversi valori del momento angolare e la sua molteplicita' e'
semplicemente 2l+1, la dimensione della rappresentazione a l fissato.
Per SO(2) invece, una base e' data da \exp{\pm i m} e la molteplicita'
dell'autovalore m^2 e' 2.

Ho studiato un po' di teoria di gruppi e rappresentazioni ma non ci ho
mai lavorato molto e mi serve solo questa piccola informazione... ho
provato a cercare sui libri ma non sono riuscito a trovare la
risposta, forse ho peccato un po' di pigrizia pero'... Mi e' venuto
anche il dubbio che la risposta non sia tanto semplice, spero di
sbagliarmi.

Mi sono fatto alcune domande:

1) Il mio spazio sara' somma diretta di rappresentazioni inequivalenti
come succede per SO(3) oppure compariranno anche piu' rappresentazioni
equivalenti? ho il sentore che la seconda possibilita' non possa
accadere per qualche ragione profonda e magari anche banale
(ovviamente accade per SO(2) che e' abeliano...) , ma non riesco bene
a mettere a fuoco e come ho detto, non posso affrontare uno studio
approfondito della questione. Se invece una rappresentazione compare
piu' volte, quante volte?

2) ci sono piu' rappresentazioni inequivalenti, in cui f^2 vale
l(l+n-2)? quante?

3) Quale e' la dimensione della rappresentazione (o delle
rappresentazioni, vedi sopra), in cui f^2 vale l(l+n-2).

A me sembra che se potessi rispondere a queste domande avrei risolto
il problema.

Forse ho fatto un po' di abuso di linguaggio, o forse ho detto qualche
stupidaggine ma spero che almeno sia chiaro quale sia la questione e
ringrazio chi ha letto fino qui e chi avra' voglia di darmi una
risposta o una referenza.
Ciao.
Beppe.
Received on Fri Apr 04 2003 - 12:05:25 CEST