On 2 Gen, 21:07, Valter Moretti <vmoret..._at_hotmail.com> wrote:
> Il punto � che "quantizzare" un sistema fisico � un termine molto
> vago, tu ti stai riferendo �al principio di corrispondenza di Dirac,
> che funziona quando funziona, comunque per funzionare richiede che
> esista una descrizione di Hamilton del sistema classico...ma i sistemi
> quantistici esistono indipendentemente da questa procedura. Ci sono
> anche sistemi intrinsecamente quantistici con alcun corrispondente
> classico (lo spin).
La questione viene affrontata in modo abbastanza moderno da Marsden,
egli considera il rotatore rigido come esempio di sistema non
hamiltoniano e del resto, come insegna Arnold, esiste una stretta
analogia fra le equazioni di Eulero del rotatore rigido e le equazioni
di Eulero di un fluido nel limite non dissipativo o debolmente
dissipativo, ed esiste analogia formale anche con altri sistemi, ad
esempio il limite di Vlasov. Secondo Marsden il problema si verifica
in quasi tutti i sistemi vincolati. Ora quando lessi questa
osservazione rimasi pressoch� tramortito, dal momento che, in modo
anche abbastanza acritico, al tempo in cui studiavamo meccanica
analitica eravamo tutti passati per lo studio della lagrangiana del
rotatore rigido ed avevamo dato per scontato che detta lagrangiana
ammettesse anche una trasformata di Legendre. Il punto � che come la
lagrangiana non � definita globalmente, per via della singolarit�
delle coordinate allo stesso modo le variabili canoniche coniugate non
possono essere definite globalmente, e questo lungi dall'essere un
problema marginale di singolarit� del sistema delle coordinate svela
una propriet� topologica intrinseca della variet� dinamica che ha
delle conseguenze che richiedono la giusta prospettiva ed estensione
della nozione di sistema hamiltoniano. Per quanto riguarda la
quantizzazione questo tipo di questioni pone un problema immediato
alla procedura di quantizzazione di Dirac e conduce alla necessit� di
escogitare altre strategie di quantizzazione pi� generali e
possibilmente indipendenti dalle regole di commutazione canoniche.
Sempre Marsden illustra la possibilit� di introdurre una quantit�
conservata che svolge il ruolo del generatore di Liouville, infatti
l'hamiltoniana del sistema pu� essere scritta come somma di un termine
cinetico e di un termine potenziale, ma il termine cinetico �
quadratico in tre operatori che non commutano, ovvero gli operatori
del momento angolare. Questa possibilit� dipende dalla struttura
topologica della variet� dinamica, che continua ad essere simplettica
e non degenere nonostante l'ostruzione alla realizzazione globale
delle relazioni di commutazione canoniche, e ricca di simmetrie nel
caso libero. Questo tipo di struttura pu� essere allora affrontato con
la tecnica di riduzione di Marsden che � uno sviluppo particolarmente
attento al rigore della trattazione gi� sviluppata da Dirac del
problema dei vincoli. Infatti non solo il teorema di Liouville, ma
anche il teorema di Noether richiede, in presenza di vincoli, delle
nuove calibrazioni teoriche. In questo sviluppo sono centrali le
propriet� dei gruppi di simmetria e gli invarianti di Casimir
dell'algebra.
Riguardo alle conseguenze che questo ha per lo sviluppo della
idrodinamica teorica e della magneto-idrodinamica si pongono diverse
questioni, ma essenzialmente il problema dei vincoli dipende molto
dalla configurazione iniziale del fluido. L'aspetto idrodinamico �
trattato da Arnold, ad esempio, nel volume sugli invarianti topologici
della fluidodinamica, ma � un libro difficile. Per quanto riguarda le
conseguenze nello sviluppo della teoria dei campi da queste
osservazioni � nato il filone della teoria topologica dei campi
quantistici.
http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_quantum_field_theory
Per quanto riguarda la fisica dei plasmi � nato il filone della
magnetoidrodinamica topologica che � strettamente legata agli sviluppi
della meccanica classica che seguirono il teorema K.A.M. (qualcosina
si trova, se non ricordo male, sul Fasano Marmi a proposito del
teorema K.A.M.) e che si rivelarano ricchi di conseguenze quando fu
scoperto che molti dei fenomeni di non linearit� scoperti nel tempo
potevano essere chiariti da una trattazione hamiltoniana
generalizzata. Le parole chiave che riguardano questo filone di
ricerca sono separazione delle variabili e strutture bi-hamiltoniane.
Ora temo che si troppo complicato partire da tutta la letteratura
esistente, e trovo che il libro di Marsden sia interessante ma
difficile e dispersivo, riguardo al libro di Arnold � anche quello
esageratamente complicato, l'unica via sensata mi sembra sarebbe
quella di partire da problemi concreti, scegliendo il campo nel quale
si vuole approfondire e rivolgersi a chi ne sa di pi�, nella
fattispecie sono certo che a Pisa non hanno solo la bravura di metter
pulci nell'orecchio ma anche quella di fornire a richiesta dei buoni
problemi che fungono da balsamo :-) Vai a parlare francamente con il
tuo professore, tanto l'esame l'hai fatto ormai, e chiedigli qualcosa
per iniziare, chiss� che non venga fuori un buon tema per una
tesi.
> La descrizione della teoria dei campi quantistici nella formulazione
> di Wightman e anche altre pi� avanzate non parte dalla formulazione
> hamiltoniana di un sistema classico, ma direttamente dalle funzioni a
> n-punti della teoria...Per� ci sono troppe cose da dire e ti conviene
> occuparti di queste cose con calma senza fare passi troppo lunghi. Mi
> dispiace non poter dire altro dato che non ricordo pi� nulla del
> sistema fisico al quale ti riferivi.
>
> Ciao, Valter
Received on Mon Jan 04 2010 - 00:56:16 CET