"Giorgio Pastore" <pastgio_at_univ.trieste.it> wrote in message
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Elio Fabri wrote
> > Il che e' quanto dire che non so se esista un teorema di completezza
> > dello sviluppo in multipoli.
> >
> > E' un mio vuoto di memoria, o davvero il teorema non esiste?
>
> Mi sembra che tutta la questione si risolva semplicemente, ricordando
> che lo sviluppo in multipoli discende dalla espansione in armoniche
> sferiche (funzioni complete sull' angolo solido) di una funzione
> (arbitraria) scritta in coordinate sferiche.
In effetti dato lo sviluppo in armoniche sferiche di una distribuzione
di carica locale e' individuato univocamente il potenziale V se
aggiungiamo le ordinarie condizioni asintotiche per V.
Inversamente, come osserva con semplicita' Enrico, dato il potenziale
V e' nota la distribuzione di cariche in termini di laplaciano.
Rimane aperta la questione riformulata da Aleph se si possa avere
lo stesso potenziale fuori da una sfera con due distribuzioni differenti
di cariche entro una sfera. Credo che la curiosita' di torn possa
essere interpretata in almeno due modi alla prima interpretazione
hanno gia' risposto Hypermars e con piu' semplicita' Enrico. La seconda
interpretazione va nella direzione dell'impostazione di Aleph e
suppongo sia cio' a cui si riferiva in effetti Elio Fabri.
> La domanda di torn riguardava la possibilita' di avere un campo
> gravitazionale a simmetria sferica in presenza di una sorgente che non
> abbia tale simmetria.
cut: (ed il fatto che le armoniche sferiche sono una base ortonormale
completa)
Attenzione pero' che le armoniche sferiche sono una base ortogonale
completa della parte angolare nello spazio delle funzioni a quadrato
sommabile. Ora mentre sono a quadrato sommabile le distribuzioni
regolari e limitate di carica ed e' localmente a quadrato sommabile
la funzione di Green di monopolo, questo non e' il caso del dipolo
elettrico concentrato che da luogo ad un potenziale il cui quadrato ha
un comportamento asintotico 1/r^4. Su questo torno in una e-mail che
indirizzo a Valter Moretti.
implica
> che se ho una distribuzione limitata spazialmente i cui momenti di
> multipolo superiore al monopolo sono diversi da zero il potenziale
> dovra' contenere i termini con le armoniche sferiche corrispondenti.
>
> Percio' la risposta e' negativa: se il corpo non ha simmetria sferica
> il potenziale non potra' averla.
Vero se si vuole che questa simmetria sia verificata ovunque,
mentre se ci si accontenta della simmetria esternamente alla
sfera e' spesso vero, a meno pero' di non trovare un caso
sfortunato ma non impossibile per cui tutti i termini di multipolo
si annullano. Consideriamo per esempio una funzione tale che
Int(0,R) r^2 f(r) dr = 0 e consideriamo la distribuzione di carica
f(r) Y_20(theta,phi). Dato il teorema non banale dell'ortogonalita'
fra le armoniche sferiche di indici differenti troviamo che solo
il termine di multipolo q_20 potrebbe essere non nullo. Mentre
invece q_20 si annulla per via della condizione verificata da
r^2 f(r).
> Che poi non sorprende se ci ricordiamo che uno dei modi piu' semplici
> per ottenere informazioni sulla distribuzione di masse nei pianeti e' di
> analizzare le anisotropie del campo gravitazionale. Ovviamente, questa
> possibilita' discende dall' analisi teorica.
E' essenzialmente corretto quel che dici, perche' le situazioni
che possono modificare la distribuzione di carica senza intaccare
il potenziale esterno alla sfera sono molto speciali. Per comprendere
meglio quanto speciali esse siano consideriamo infatti la condizione
dell'equazione integrale che abbiamo scritto ed osserviamo che riduce
essenzialmente un coefficiente di Fourier ad essere una funzione degli
infiniti altri che rimangono liberi, ma questo vincolo deve essere
verificato indipendentemente per tutte le funzioni f_lm(r) quindi porta
ad "un grado di liberta' in meno" per ogni coppia di indici lm.
Fino a prima di questo tour de force ero, anch'io, pressoche' convinto
che qualunque potenziale armonico con le giuste condizioni di
decrescenza ad infinito fosse univocamente caratterizzato
dall'espansione in multipoli, e che la corrispondenza fra l'espansione
in multipoli e la distribuzione di carica fosse biunivoca almeno nel
caso di sistemi formati da un numero finito di cariche puntiformi.
Cio' mi conduceva spesso in contraddizioni di cui non comprendevo
l'origine. Ora continuo ad essere relativamente confidente che
la seconda affermazione potrebbe essere vera.
Della prima vedo che invece e' garantita,
forse, nel caso di distribuzioni lisce e nel caso che i
potenziali siano localmente a quadrato sommabile. Se ne ho guadagnato
una migliore comprensione dello sviluppo in multipoli lo devo anche
a tutti voi. Grazie.
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Received on Thu Jan 20 2005 - 19:37:22 CET