Re: sommare onde "sfasate"

From: Tetis <lcvvck$thb$1_at_speranza.aioe.org>
Date: Sat, 08 Feb 2014 23:17:33 +0100

Il 06/02/2014, Tommaso Russo, Trieste ha detto :
> On Thu, 06 Feb 2014 00:10:02 +0000, marco wrote:
>
>> Salve a tutti!
>>
>> Vi sottopongo questo quesito: se ho N sinusoidi, tutte della stessa
>> ampiezza e frequenza, ma la cui fase è una variabile aleatoria con una
>> data distribuzione di probabilità (diciamo normale) e le sommo (o medio)
>> fra di loro, cosa ottengo? Per essere più precisi: quale effetto (in
>> termini di ampiezza, forma, ecc.) è prodotto sull'onda "somma" (o
>> "media") dai parametri della distribuzione (deviazione standard e
>> media)?
>
> Ovviamente, la somma (o media) e' anch'essa una sinusoide con la stessa
> frequenza, ma di quale fase e ampiezza?
>
> Ragiona sui fasori. Disegna una circonferenza di raggio R pari
> all'ampiezza A, fissa a piacere il punto di fase media, e disegna sulla
> circonferenza (meglio: sia all'esterno che all'interno) la tua
> distribuzione in funzione di theta, con ampiezza scalata in modo che il
> suo massimo sia <<R.
>
> Per N grandi, la media dei tuoi fasori e' il baricentro della figura che
> hai costruito.
>
> Quindi: se la varianza e <<pi, l'ampiezza della media e' molto vicina ad
> A e la sua fase e' la fase media; se la varianza e' dello stesso ordine
> di grandezza di pi, la fase della media rimane la media delle fasi, ma
> l'ampiezza si riduce a valori dell'ordine di grandezza di A/2; se la
> varianza e' >>pi, l'ampiezza della media e' praticamente nulla.

Comunque è interessante studiare a parte il caso in cui la
distribuzione delle fasi sia uniforme sulla circonferenza. In questo
caso per N grande puoi applicare il teorema centrale del limite sulle
due distribuzioni per la parte reale ed immaginaria della fase (che
sono variabili aleatorie identicamente distribuite) ed otterrai una
distribuzione gaussiana con media nulla e varianza N s0 dove s0 è la
varianza della singola componente. Cioè in pratica otterrai una
sinusoide la cui fase è una variabile aleatoria uniformemente
distribuita sulla circonferenza, mentre l'ampiezza è una distribuzione
della forma:

A r exp(-r^2/(N s0)) dr.

in pratica l'ampiezza risulta dell'ordine una variabile aleatoria con
valor medio dell'ordine di sqrt(N). Compatibilmente con il fatto che il
valor medio dell'ampiezza (che si ottiene dividendo per N) tende a
zero, come tu hai osservato.
Received on Sat Feb 08 2014 - 23:17:33 CET