Il calcolo del tempo di caduta di un oggetto puntiforme di massa m, posto
a distanza d da una massa M, sempre puntiforme, con M >>> m, da un punto
di vista matematico presenta delle difficolt�, almeno per me, inaspettate.
Intanto non mi � proprio riuscito di trovare un integrale particolare in
forma esplicita (ovvero y = y(t), in pratica l'equazione oraria del moto)
dell'equazione differenziale non lineare di secondo grado che descrive
matematicamente il problema
y'' = -GM/y^2 (1)
BTW risulta invece abbastanza agevole trovare un integrale particolare
dell'equazione modificata con il segno + a secondo membro, che descrive il
caso di una forza repulsiva con la stessa forma della forza
gravitazionale.
E' altres� abbordabile, sebbene non proprio immediata, la determinazione
dell'integrale generale della (1)
[cos� come dell'equazione pi� generale y'' = f(y) , con f(y) qualsiasi]
in forma implicita, da cui si ottiene facilmente il tempo tff (tempo di
free-all sull'oggetto massiccio centrale).
L'equazione oraria del moto in forma implicita risulta essere la seguente:
L*pi/2 + sqrt[y*(L - y)] - L*arctg[sqrt(y)/sqrt(L - y)] = t (3)
dove L � la distanza iniziale tra le due masse puntiformi e la velocit�
iniziale � nulla al tempo t = 0 .
Confesso che non ci ho provato seriamente (esistono delle formule di
trasformazione che coinvolgono l'arctg che potrebbero aiutare), ma
esplicitare nell'equazione trascendente (3) la dipendenza da t di y non mi
sembra banale (sempre ammesso che sia fattibile).
E pensare che tutto questo ambaradam salta fuori per un "banale" problema
di meccanica che coinvolge due masse puntiformi (la spigolosit� matematica
cui alludevo nel titolo appunto)!
A riprova della frequente maggiore trattabilit� degli oggetti matematici
"lisci", la risoluzione del problema analogo a quello di partenza, in cui
la massa puntiforme M s'immagina distribuita omogeneamente, con densit�
rho* costante, in una sfera di raggio L, con il corpo di prova di massa m
posto inizialmente sulla superficie, non presenta alcuna difficolt�,
infatti la (1) si riduce all'equazione dell'oscillatore armonico:
y'' = - GM(y)/y^2 = - (4*pi*G*rho*/3)*y (4)
la cui soluzione (con la condizione iniziale (y(0) = L ; y'(0) = 0)
� (equazione oraria del moto):
y(t) = L*cos(w*t) , con w = (4*pi*G*rho*/3)^(1/2)
Saluti,
Aleph
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Received on Tue Dec 23 2008 - 11:06:51 CET