Re: Fattorizzazione di sistemi fermionici

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Tue, 10 Jun 2003 20:53:33 +0200

A me pare che nessuno abbia risposto alla vera domanda:
> Occorre, necessariamente, ricorrere ad una funzione d'onda antisimmetrica
> del tipo:
> F(1,2)= k (A(1)B(2) - A(2)B(1))
> che corrisponde ad uno stato entangled.
>
> Sembrerebbe quindi, se non sto sbagliando la conclusione, che un pacchetto
> di due oggetti identici e di spin semintero, non possa essere ridotto.
Ora io prendero' la questione un po' alla larga, ripetendo anche in
parte cose gia' dette. Il discorso non sara' elementare, perche' certe
cose *non si possono discutere bene con strumenti elementari*.
Se Eleonora capisce, bene; altrimenti potra' sempre chiedere chiarimenti
o aspettare un po' per capire bene...

Per una particella di spin 1/2, la trattazione alla Pauli (ossia non
relativistica, non alla Dirac) si fa usando come spazio di Hilbert H
degli stati un prodotto tensoriale di due spazi: il primo e' quello
delle ordinarie funzioni d'onda, ossia L^2(R^3) (uno spazio complesso a
dimensione infinita: lo chiamero' Hf). Questo descrive i gradi di
liberta' di traslazione; le osservabili associate sono posizione,
impulso, momento angolare orbitale, ecc.
Il secondo e' uno spazio di dimensione due, sempre sul campo complesso:
lo chiamero' Hs. Questo descrive il "grado di liberta' di spin", e le
osservabili sono le componenti sx, sy, sz dello spin e loro combinazioni
lineari (niente altro, perche' per spin 1/2 gia' i prodotti non sono
linearmente indipendenti dalle sx, sy, sz).

In Hf possiamo assumere una base ortonormale a piacere; per il seguito
mi fara' comodo prendere come due elementi di questa base due
"pacchetti", che indichero' con |A>, |B>, che descrivono una particella
localizzata in due piccole regioni di spazio *ben distinte tra loro*. Se
le due regioni hanno intersezione vuota, i due vettori |A> e |B> sono
ortogonali.
Naturalmente per avere una base in Hf oltre ad |A> e |B> occorrerebbero
infiniti altri vettori, ma non ne faro' uso.

In Hs prendero', come usa di solito, una base formata da due autovettori
di sz: indichero' con |+> e |-> i due autovettori per gli autovalori
+1/2 e -1/2 (unici a meno di un fattore di fase).

Nel prodotto tensoriale H = Hf*Hs (uso * come simbolo di prodotto
tensoriale) posso prendere come base |A>*|+>, |A>*|->, |B>*|+>, |B>*|->,
...
Abbreviero' la notazione cosi': |A+>, |A->, |B+>, |A->, ...
Dunque |A+> indica un elettrone che si trova nella regione spaziale A
con spin "in su", ecc.

In H = Hf*Hs le osservabili sono tutte quelle di Hf e Hs (a rigore,
quelle di Hf moltiplicate in senso tensoriale per l'identita' di Hs e
viceversa) piu' innumerevoli combinazioni piu' complicate, come ad es
y*sz, altri prodotti analoghi, e loro combinazioni lineari (ovviamente
non mi pongo, per semplicita' e perche' e' irrilevante per i miei scopi,
il problema di verificare se e quando si tratti veramente di
osservabili, ossia di operatori autoaggiunti).
Osservo che le osservabili di Hf commutano con quelle di Hs.

Passiamo ora a un sistema di due elettroni, dimenticando in un primo
tempo che sono indistinguibili e sono fermioni.
Allora per ciascuno dei due elettroni ho uno spazio di Hilbert: H1 =
Hf1*Hs1 e H2 = Hf2*Hs2, con relative osservabili. Come vettori base
avro'
|1,A+>, |1,A->, |1,B+>, |1,A->, ... e |2,A+>, |2,A->, |2,B+>, |2,A->,
...
(credo che la notazione sia self-explanatory).

Per il sistema dovro' considerare lo spazio H = H1*H2, nel quale un
vettore base tipico sarebbe |1,A+>*|2,A+>, che abbrevio {A+,A+>.
Il significato e' chiaro: qui ho due elettroni che si trovano entrambi
nella regione A e con spin in su (stato proibitissimo, come si vedra'
tra poco, ma non anticipiamo).
Invece |A-,B+> vuol dire che il primo elettrone sta nella regione A con
spin in giu', e il secondo nella regione B con spin in su.
La notazione non e' ambigua: la prima coppia di indici si riferisce
all'elettrone 1, la seconda all'elettrone 2.

Naturalmente posso usare qualsiasi combinazione lineare di questi
vettori. Per es. se volessi descrivere uno stato in cui l'elettrone 1
sta in A e l'elettrone 2 sta in B, mentre lo spin totale e' 0, scriverei
|A+,B->-|A-,B+>.
Nota: qui e in seguito trascuro fattori di normalizzazione.

Faccio notare che e' solo una scelta di notazione scrivere invece questo
stato cosi': |A>|B>(|+>|->-|->|+>). La differenza sta solo nell'ordine
in cui convengo di scrivere i diversi fattori del prodotto tensoriale.
Certe volte conviene uno, certe volte un altro...

Le osservabili in H = H1*H2 sono tutte quelle dei due elettroni
separatamente, ma anche tutti i possibili prodotti, somme, ecc. Per
esempio, giusto per indicare una cosa sensata, la componente z del
momento angolare totale:
x1 py1 - y1 px1 + x2 py2 - y2 px2 + sz1 + sz2.
Nota: tutte le osservabili di H1 commutano con quelle di H2.

E ora facciamo intervenire l'ipotesi che le particelle siano identiche.
La prima importante conseguenza e' che non tutte le osservabili sono
piu' ammesse: lo sono soltanto quelle *simmetriche* nello scambio delle
due particelle.
Esempio: non puo' esistere l'osservabile x1, perche' non si puo'
misurare la posizione _della particella 1_. Si puo' solo misurare la
posizione _di una particella_, ma senza sapere quale. Si puo' misurare
x1+x2, x1*x2, |x1-x2|.

Osserviamo ora che in H si possono distinguere particolari vettori:
quelli simmetrici nello scambio, e quelli antisimmetrici. I primi
formano un sottospazio H+, i secondi un sottospazio H-, e si ha H = H+ +
H-; anzi H+ e H- sono _ortogonali_.
E' facile mostrare che un'osservabile simmetrica non ha elementi di
matrice fra H+ e H-, e questo assicura che uno stato di H+ non puo' mai
uscire da H+, ne' per evoluzione temporale (anche l'hamiltoniana e'
un'oss. simmetrica) ne' a causa di un'operazione di misura. Lo stesso
vale per H-.
Possiamo dunque aspettarci che esistano due tipi di particelle: quelle
che formano solo stati in H+ e quelle che formano solo stati in H-.
Questi sono i bosoni e i fermioni.
(In realta', pensando a piu' di due particelle il discorso si complica,
ma lasciamo stare...)

Abbiamo quindi una prima risposta: se si parte da uno stato di H-
(fermioni, ma lo stesso vale per i bosoni) si ottera' sempre e comunque,
anche con una misura, ancora uno stato di H-.
Ma vediamo meglio, considerando un esperimento alla EPR, in cui lo stato
iniziale (prima della misura) e' descritto a parole cosi': un elettrone
e' in A e l'altro e' in B; lo spin totale e' zero.
Quale sara' il vettore di stato? Non |A+,B->-|A-,B+>, che non e'
antisimmetrico nello scambio delle due particelle, ma invece
|A+,B-> - |A-,B+> - |B-,A+> + |B+,A-> ovvero (|AB>+|BA>)*(|+->-|-+>),
usando l'altra notazione.

Ora eseguiamo una misura di spin di una particella: piu' esattamente,
misuriamo sz per la particella che si trova in A. Due risultati sono
possibili: o la particella in A ha lo spin in su (e allora quella in B
ha lo spin in giu') o viceversa.
Nel primo caso, lo stato finale e' |A+,B-> - |B-,A+>; nel secondo, e'
|B+,A-> - |A-,B+>.
I vettori sono in entrambi i casi antisimmetrici: sono anche
"entangled"? Questo si puo' discutere.
Infatti nel primo caso abbiamo, a parole: "una particella si trova in A
con spin in su, e l'altra in B con spin in giu'"; analogo nel secondo
caso. Il solo motivo di "entanglement" e' che in ogni caso non posso
dire _quale_ particella si trova in A, e quale in B.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Tue Jun 10 2003 - 20:53:33 CEST