Voglio aggiungere un calcoletto sulle nane bianche, piu' che altro per
mostrare che cosa potrebbe significare una divulgazione "seria" (che
pero' non sarebbe piu' divulgazione, in quanto richiederebbe studio).
Forse riuscira' poco gradito che ci siano tanti numeri, ma lo faccio
apposta, perche' la fisica senza numeri si riduce a chiacchiere vuote.
Dunque: prendiamo una nana bianca di massa uguale a quella del Sole
(2E33 g) che e' un valore ragionevole. Mi servira' calcolare quanti
elettroni ci sono, e procedo cosi'. La massa e' dovuta ai barioni
(protoni e neutroni) che hanno ciascuno massa circa 1.6E-24 g: quindi ce
ne sono 1.25E57. Gli elettroni sono all'incirca la meta' dei barioni, se
la stella e' composta prevalentemente di elio o elementi piu' pesanti:
quindi 6E56 elettroni.
Poiche' in ogni cella dello spazio delle fasi, di volume h^3, possono
stare due elettroni (questo perche' ci sono due stati di spin possibili)
le celle occupate sono la meta': 3E56.
Nota: sto assumendo che il gas di elettroni sia "completamente
degenere", come di fatto e'. Ossia che siano occupati tutti e soli gli
stati di piu' bassa energia. Perche' sia cosi', potrei spiegarlo
(dipende dalla temperatura) ma non voglio essere troppo lungo.
Allora il volume totale di spazio delle fasi occupato dal gas di
elettroni e' 3E56 x h^3 = 2E-24 (cgs).
Passiamo al volume spaziale della stella. Una stella del genere ha un
volume dell'ordine di 10000 km (poco piu' grande della Terra, con la
massa del Sole) e il volume viene 4.2E27 cm^3.
Il volume nello spazio delle fasi e' il prodotto del volume spaziale
vero e proprio, per il volume nello spazio degli impulsi, ma questo
debbo un po' spiegarlo.
Le particelle hanno ciascuna un impulso, che e' un vettore. E hanno
anche un'energia cinetica, prop. al quadrato del modulo dell'impulso.
Allora gli stati con la minima en. cinetica si otterranno prendendo
tutti i valori del modulo dell'impulso fino a un certo massimo P (che si
chiama impulso di Fermi). Considerando i vettori, tutti i vettori
possibili si disporranno dentro una sfera di raggio P, il cui volume e'
quello che ho chiamato sopra "volume nello spazio degli impulsi".
Nota: ho attribuito agli elettroni sola energia cinetica: questo
equivale a supporre che non siano soggetti a forze. E' quello che si
chiama "modello a particelle indipendenti" e non posso ora discutere
quanto sia giustificato. In parte vedremo poi...
A conti fatti, il volume nello sp. degli impulsi e' 2E-24 / 4,2E27 =
4.8E-52 (cgs). A qusto volume (che e' quello di una sfera di raggio P)
corrisponde P = 4.9E-18 (cgs).
Fermiamoci un momento. Abbiamo appreso che gli elettroni (gas di Fermi
completamente degenere) per il fatto di essere costretti nel volume
della stella, avranno impulsi compresi fra zero e un massimo pari a P,
appena calcolato. Per avere un'idea di quanto e' questo P, ricaviamone
la velocita' massima degli elettroni, dividendo per la massa (9E-28 g):
troviamo v = 5.4E9 cm/s, che e' quasi 1/5 di c!
Dunque dovremmo tener conto di correzioni relativistiche? Per un ordine
di grandezza, che e' quanto c'interessa, non e' necessario. Se pero'
dovessimo fare dei conti piu' accurati, e se la stella fosse un po' piu'
piccola, dovremmo ricordarcene.
A questo impulso P corrisponde un'en. cinetica massima E (energia di
Fermi) che vale 1.3E-8 erg, ossia circa 8000 eV, molto maggiore delle
energie di legame degli elettroni negli atomi di elio e di altri atomi
leggeri (carbonio e simili). Questo giustifica, almeno in parte, l'aver
trattato gli elettroni come liberi: di fatto tutti gli atomi sono
ionizzati, e gli elettroni si muovono liberamente per tutto lo spazio
della stella.
Puo' sorgere una domanda: come mai non scappano fuori?
La risposta non la do, per lasciare qualcosa da pensare...
Concludo con un'osservazione importante. Il nostro calcolo era soltanto
numerico. Ma si poteva fare facilmente in forma algebrica, e si vede ad
es. che l'energia di Fermi cresce al diminuire del raggio della stella.
Come cresce? Il volume spaziale va come R^3, quindi il volume nello sp.
degli impulsi va come 1/R^3, quindi P va come 1/R, ed E va come 1/R^2.
Si vede dunque che per comprimere la stella occorre spendere lavoro.
Se teniamo conto della gravita', questo lavoro potrebbe essere ottenuto
a spese dell'en. potenziale gravitazionale; ma questa, fissata la massa
della stella, va come 1/R, quindi cresce meno di quella che occorre dare
al gas di elettroni.
Ne segue che ci sara' un equilibrio: un raggio della stella al quale la
somma (en. pot. grav.) + (en. cinetica degli elettroni) sara' minima.
Nota: chi volesse trovare questo minimo, tenga conto che l'en. pot.
grav. e' negativa!
Se si fa il conto per bene, viene fuori che con la massa del Sole il
raggio di equilibrio e' circa 7000 km, un po' piu' piccolo di quello che
avevamo preso all'inizio.
E' dunque possibile con argomenti elementari, e usando un solo risultato
quantistico (due elettroni per cella dello spazio delle fasi) capire
come sta insieme una nana bianca.
La matematica necessaria non supera le conoscenze liceali, e anche la
fisica, tutto sommato; ma e' la capacita' di maneggiare tutti i vari
concetti e leggi, inserire le giuste grandezze, capire che cosa puo'
essere trascurato, quali semplificazioni adottare; e' tutto questo il
difficile.
Proprio quello che la solita divulgazione ignora allegramente.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
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Received on Sat Dec 08 2001 - 11:50:45 CET