Relatività 001 - Muoni, intervalli invarianti,

From: Davide <dvdelia_at_gmail.com>
Date: Thu, 14 Sep 2023 05:27:21 -0700 (PDT)

Buongiorno. Vorrei discutere alcuni aspetti della RR a partire da un esercizio di Taylor e Wheeler che ho ripreso in mano per (ri)studiare un po’ di relatività dopo l’università e dopo due anni trascorsi senza avere classi di liceo a cui spiegarla.












Consideriamo due eventi che, in un dato sistema di riferimento O, avvengono in due posizioni distinte e in due istanti differenti. Ad esempio la partenza di una particella dal punto A e il suo arrivo nel punto B tramite un tragitto rettilineo percorso ad una velocità uniforme rilevata rispetto al sdr O. Sappiamo che l’intervallo spazio-temporale (c* delta t)^2-(delta s)^2 può essere positivo, nullo o negativo e che è invariante, ossia non cambia passando da un sdr ad un altro che si muova di moto rettilineo uniforme rispetto ad O. Se la velocità della particella è pari a c, l’intervallo spazio-temporale sarà nullo e deve essere nullo anche se ci si pone nel sdr P solidale con la particella. Ma nel sdr P, gli eventi avvengono nello stesso punto, quindi (delta s)=0 e di conseguenza anche (delta t)=0. Ma cosa significa questo risultato? Possiamo dire che la particella “non invecchia”? Che il suo viaggio, cronometrato nel suo sdr, è istantaneo? Quindi nel suo sistema di riferimento i punti A e B h
anno distanza nulla? Inoltre, considerando un intervallo spazio-temporale, è possibile parlare della sua componente spaziale e di quella temporale in modo separato? Guardando la forma algebrica e i diagrammi di Minkowski mi verrebbe da dire di sì, ma sarebbe corretto dire, ad esempio, che la componente spaziale coincide con la distanza tra i due punti in cui avvengono gli eventi? Questa possibilità non sarebbe in contrasto con il significato di spazio-tempo come unione indissolubile di spazio e tempo, come affermato da Minkowski nella sua famosa citazione?


Credo di aver messo già tante domande, ma per chi ha tempo e voglia di leggere, riporto il lungo testo dell’esercizio che me le ha fatte emergere.









A un’altezza compresa tra i 10 e i 60 km al disopra della superficie terrestre i raggi cosmici colpiscono continuamente i nuclei degli atomi di ossigeno e azoto producendo mesoni µ (mesoni µ o muoni: particelle elementari aventi massa pari a 207 masse elettroniche che vengono prodotti in particolari reazioni nucleari). Alcuni di questi muoni si muovono verticalmente verso il basso a una velocità prossima a quella della luce. Seguiamo uno di questi muoni nel suo cammino verso il basso. Preso un insieme di mesoni, la metà di essi decadono in altre particelle elementari in 1.5µs, misurati in un sistema di riferimento in cui questi sono a riposo. Metà dei rimanenti decadono nei successivi 1.5µs,e così via. Analizzate il risultato di questo decadimento rispetto a due diversi sistemi di riferimento. Approssimate l’esperimento reale (piuttosto complicato) col seguente meccanismo, che è all’incirca equivalente: tutti i mesoni sono prodotti alla stessa altezza (60km); hanno tutti la stessa velocità; t
utti si muovono in linea retta verso il basso; nessun muone viene perduto nel corso del suo cammino a causa di urti con le molecole di aria.

a - All’incirca, quanto tempo (misurato nel sistema di riferimento della Terra) occorrerà perché questi mesoni raggiungano la superficie terrestre?


b - Se il tempo di decadimento fosse lo stesso per gli osservatori terrestri e per un osservatore che si muove con i muoni, quanti tempi di dimezzamento saranno trascorsi, approssimativamente? Quindi, quale frazione delle particelle create a 60 km di altezza rimarrà quando queste raggiungono il livello del mare sulla Terra? Potete esprimere la vostra risposta come potenza della frazione 1/2.


c - Un esperimento stabilisce che una frazione pari a 1/8 dei muoni raggiunge il livello del mare. Chiamate “sistema del razzo” quello in cui i muoni sono a riposo. In quest’ultimo sistema, quanti tempi di dimezzamento sono trascorsi tra la creazione di un dato muone e il suo arrivo come superstite al livello del mare?

d - Nel sistema del razzo, qual è la distanza spaziale tra il punto di nascita di un muone superstite e il punto in cui esso arriva sulla superficie terrestre?(Attenti!)

e - Partendo dalle distanze spaziali e temporali relative al razzo, trovate il valore dell’intervallo spazio-temporale tra l’evento di nascita e l’evento di arrivo per un singolo muone superstite.








Il centro delle mie perplessità sta nel considerare i muoni a velocità c. Che io sappia, essendo dotati di massa, non possono muoversi a velocità c, ma soprassedendo su questo aspetto, se si muovono a velocità c, l’intervallo spazio-temporale sarebbe un intervallo di tipo luce, ossia pari a zero. Nel sistema dell’oggetto che si muove a velocità c, gli eventi partenza e arrivo avvengono nello stesso punto, quindi la distanza spaziale tra gli eventi sarà zero e anche la distanza temporale dovrà essere zero. Io interpreto questo immaginando che per il muone il tempo non passa, quindi mi aspetto di avere il 100% di muoni sulla superficie terrestre. Il fatto che ne arrivi un ottavo è coerente col fatto che non si muovono a velocità c. Ma se non conosco il valore effettivo della loro velocità rispetto alla superficie terrestre, come posso stimare il tempo di volo e rispondere alle domande a e b? Viceversa, se si muovessero a velocità c (cosa già impossibile perché sono dotati di massa), come potre
bbe arrivarne solo un ottavo?

Grazie a chi vorrà rispondere

Davide
Received on Thu Sep 14 2023 - 14:27:21 CEST